Quel test choisir?

Inférence sur une:

Problème 1

$$ H_0 : \mu <= \mu_o \\ H_0 : \mu > \mu_o $$

Problème 2

$$ H_0 : \mu >= \mu_o \\ H_0 : \mu < \mu_o $$

Problème 3

$$ H_0 : \mu = \mu_o \\ H_0 : \mu \neq \mu_o $$

Statistique de test

$$ T = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma_0 / \sqrt{n}} $$

Loi utilisée

$$ \mathcal{N}(0,1) $$ NormalDistribution[0,1]

Règle de comportement

Rejet $H_0$ ssi $T > z_\alpha$
Quantile[NormalDistribution[0,1],1-a]

Rejet $H_0$ ssi $T < -z_\alpha$
Quantile[NormalDistribution[0,1],a]

Rejet $H_0$ ssi $|T| > z_{\alpha/2}$
Quantile[NormalDistribution[0,1],1-a/2]

Statistique de test

$$ T = \frac{\bar{X}-\mu_0}{s / \sqrt{n-1}} $$

Loi utilisée

$$ \mathcal{T}(n-1) $$ StudentTDistribution[n-1]

Règle de comportement

Rejet $H_0$ ssi $T > z_\alpha$
Quantile[StudentTDistribution[n-1],1-a]

Rejet $H_0$ ssi $T < -z_\alpha$
Quantile[StudentTDistribution[n-1],a]

Rejet $H_0$ ssi $|T| > z_{\alpha/2}$
Quantile[StudentTDistribution[n-1],1-a/2]

Statistique de test

$$ T = \frac{\bar{X}-\mu_0}{s / \sqrt{n-1}} $$

Loi utilisée

$$ \mathcal{N}(0,1) $$ NormalDistribution[0,1]

Règle de comportement

Rejet $H_0$ ssi $T > z_\alpha$
Quantile[NormalDistribution[0,1],1-a]

Rejet $H_0$ ssi $T < -z_\alpha$
Quantile[NormalDistribution[0,1],a]

Rejet $H_0$ ssi $|T| > z_{\alpha/2}$
Quantile[NormalDistribution[0,1],1-a/2]

Problème 1

$$ H_0 : \mu_1 - \mu_2 \leq c \\ H_1 : \mu_1 - \mu_2 > c $$

Problème 2

$$ H_0 : \mu_1 - \mu_2 \geq c \\ H_1 : \mu_1 - \mu_2 < c $$

Problème 3

$$ H_0 : \mu_1 - \mu_2 = c \\ H_1 : \mu_1 - \mu_2 \neq c $$

Statistique de test

$$ T = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - c}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} $$

Loi utilisée

$$ \mathcal{N}(0,1) $$ NormalDistribution[0,1]

Règle de comportement

Rejet $H_0$ ssi $T > z_\alpha$
Quantile[NormalDistribution[0,1],1-a]

Rejet $H_0$ ssi $T < -z_\alpha$
Quantile[NormalDistribution[0,1],a]

Rejet $H_0$ ssi $|T| > z_{\alpha/2}$
Quantile[NormalDistribution[0,1],1-a/2]

Si les variances sont supposées égales.

Statistique de test

$$ T = \frac{\bar{X}-\bar{Y}-c}{\sqrt{\frac{n_1s_1^2 + n_2s_2^2}{n_1+n_2 -2}\frac{n_1 + n_2}{n_1n_2}}} $$

Loi utilisée

$$ \mathcal{T}(\nu) $$ avec $ \nu = n_1+n_2-2 $
StudentTDistribution[nu]

Si les variances ne sont pas supposées égales.

Statistique de test

$$ T = \frac{\bar{X}-\bar{Y}-c}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} $$

Loi utilisée

$$ \mathcal{T}(\nu) $$ avec $\nu = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}} $
StudentTDistribution[nu]

Règle de comportement

Rejet $H_0$ ssi $T > t_{\nu,\alpha} $
Quantile[StudentTDistribution[nu],1-a]

Rejet $H_0$ ssi $T < - t_{\nu,\alpha} $
Quantile[StudentTDistribution[nu],a]

Rejet $H_0$ ssi $|T| > t_{\nu,\alpha/2}$
Quantile[StudentTDistribution[nu],1-a/2]

Statistique de test

$$ T = \frac{\bar{X} - \bar{Y}-c}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1-1}+\frac{s_2^2}{n_2-1}}} $$

Loi utilisée

$$ \mathcal{N}(0,1) $$ NormalDistribution[0,1]

Règle de comportement

Rejet $H_0$ ssi $T > z_\alpha$
Quantile[NormalDistribution[0,1],1-a]

Rejet $H_0$ ssi $T < -z_\alpha$
Quantile[NormalDistribution[0,1],a]

Rejet $H_0$ ssi $|T| > z_{\alpha/2}$
Quantile[NormalDistribution[0,1],1-a/2]

Problème 1

$$ H_0 : \sigma^2 \leq \sigma^2_o \\ H_1 : \sigma^2 > \sigma^2_o $$

Problème 2

$$ H_0 : \sigma^2 \geq \sigma^2_o \\ H_1 : \sigma^2 < \sigma^2_o $$

Problème 3

$$ H_0 : \sigma^2 = \sigma^2_o \\ H_1 : \sigma^2 \neq \sigma^2_o $$

Statistique de test

$$ T = \sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i - \mu_0}{\sigma_0} \right) $$

Loi utilisée

$$ \mathcal{\chi}^2_n $$ ChiSquareDistribution[n]

Règle de comportement

Rejet $H_0$ ssi $T > \chi^2_{n;1-\alpha} $
Quantile[ChiSquareDistribution[n],1-a]

Rejet $H_0$ ssi $T < \chi^2_{n;\alpha} $
Quantile[ChiSquareDistribution[n],a]

Rejet $H_0$ ssi $|T| \notin [\chi^2_{n;1-\alpha/2}, \chi^2_{n;\alpha/2}] $

Statistique de test

$$ T = \frac{ns^2}{\sigma_0^2} $$

Loi utilisée

$$ \chi^2_{n-1} $$ ChiSquareDistribution[n-1]

Règle de comportement

Rejet $H_0$ ssi $T > \chi^2_{n-1;1-\alpha} $
Quantile[ChiSquareDistribution[n-1],1-a]

Rejet $H_0$ ssi $T < \chi^2_{n-1;\alpha}$
Quantile[ChiSquareDistribution[n-1],a]

Rejet $H_0$ ssi $|T| \notin [\chi^2_{n-1;1-\alpha/2}, \chi^2_{n-1;\alpha/2} ]$
Quantile[ChiSquareDistribution[n-1],1-a/2]

Problème 1

$$ H_0 : \sigma_1^2/\sigma_2^2 \leq c \\ H_1 : \sigma_1^2/\sigma_2^2 > c $$

Problème 2

$$ H_0 : \sigma_1^2/\sigma_2^ \geq c \\ H_1 : \sigma_1^2/\sigma_2^ < c $$

Problème 3

$$ H_0 : \sigma_1^2/\sigma_2^ = c \\ H_1 : \sigma_1^2/\sigma_2^ \neq c $$

$ X_1, . . . , X_{n_1} i.i.d. \mathcal{N} (\mu_1, \sigma^2_1) $ avec $\mu_1$ inconnu et $ Y_1, . . . , Y_{n_2} i.i.d. \mathcal{N} (\mu_2, \sigma^2_2)$ avec $\mu_2$ connu

Statistique de test

$$ T = \frac{n_1(n_2-1)s_1^2}{n_2(n_1-1)s_2^2 c} $$

Loi utilisée

$$ \mathcal{F}_{n_1-1,n_2-1} $$ FRatioDistribution[n1-1,n2-1]

Règle de comportement

Rejet $H_0$ ssi $T > \mathcal{F}_{n_1-1,n_2-1;1-\alpha}$
Quantile[FRatioDistribution[n1-1,n2-1],1-a]

Rejet $H_0$ ssi $T < \mathcal{F}_{n_1-1,n_2-1;\alpha}$
Quantile[FRatioDistribution[n1-1,n2-1],a]

Rejet $H_0$ ssi $|T| \notin [ \mathcal{F}_{n_1-1,n_2-1;\alpha/2}, \mathcal{F}_{n_1-1,n_2-1;1-\alpha/2} ]$

Quel test choisir?

Inférence sur une:

Nombre d'échantillons?

Problème 1

Problème 2

Problème 3

Situation 1: $ X_1, . . . , X_n i.i.d. \mathcal{N} (\mu, \sigma^2_0)$ avec $ \sigma_0^2$ connu

Statistique de test

Loi utilisée

Règle de comportement

Situation 2: $ X_1, . . . , X_n i.i.d. \mathcal{N} (\mu, \sigma^2)$ avec $ \sigma^2$ inconnu

Statistique de test

Loi utilisée

Règle de comportement

Situation 3: $ X_1, . . . , X_n i.i.d. \mathcal{N} (\mu, \sigma^2)$ de moyenne et variance inconnue, n grand

Statistique de test

Loi utilisée

Règle de comportement

Problème 1

Problème 2

Problème 3

Situation 1: $ X_1, . . . , X_{n_1} i.i.d. \mathcal{N} (\mu_1, \sigma^2_1) $ avec $ \sigma_1^2$ connu et $ Y_1, . . . , Y_{n_2} i.i.d. \mathcal{N} (\mu_2, \sigma^2_2)$ avec $ \sigma_2^2 $ connu

Statistique de test

Loi utilisée

Règle de comportement

Situation 2: $ X_1, . . . , X_{n_1} i.i.d. \mathcal{N} (\mu_1, \sigma^2_1) $ avec $ \sigma_1^2$ inconnu et $ Y_1, . . . , Y_{n_2} i.i.d. \mathcal{N} (\mu_2, \sigma^2_2)$ avec $ \sigma_2^2 $ inconnu

Si les variances sont supposées égales.

Statistique de test

Loi utilisée

Si les variances ne sont pas supposées égales.

Statistique de test

Loi utilisée

Règle de comportement

Situation 3: $ X_1, . . . , X_{n_1} i.i.d. \mathcal{N} (\mu_1, \sigma^2_1) $ avec $ \sigma_1^2$ et $\mu_1$ inconnus et $ Y_1, . . . , Y_{n_2} i.i.d. \mathcal{N} (\mu_2, \sigma^2_2)$ avec $ \sigma_2^2 $ et $\mu_2$ inconnus

Statistique de test

Loi utilisée

Règle de comportement

Problème 1

Problème 2

Problème 3

Situation 1: $ X_1, . . . , X_n i.i.d. \mathcal{N} (\mu_0, \sigma^2_0)$ avec $ \mu_0^2$ connu

Statistique de test

Loi utilisée

Règle de comportement

Situation 2: $ X_1, . . . , X_n i.i.d. \mathcal{N} (\mu, \sigma^2)$ avec $ \mu$ inconnu

Statistique de test

Loi utilisée

Règle de comportement

Problème 1

Problème 2

Problème 3

Statistique de test

Loi utilisée

Règle de comportement

Problème 1

Problème 2

Problème 3

Statistique de test

Loi utilisée

Règle de comportement

En cours